Если ключи считать идеальными и предположить, что входная и выходная цепи близки к источникам напряжений u₁ и u₂, то несложно записать приращение заряда конденсатора за период коммутации. На начальном интервале j­го периода замкнутый ключ К₁ при разомкнутом К₂ обеспечивают заряд конденсатора до значения q(jТ) = Сu₁(jТ). В следующем полупериоде при разомкнутом ключе К₁ и замкнутом К₂ его заряд будет q[(j+1)Т] = Сu₂([(j+1)Т]. Таким образом, приращение заряда за период Т составит Δq = С(u₁ – u₂). Изменение заряда при периодической коммутации можно интерпретировать как среднее значение тока за период i_ср = Δq/Т, проходящего от узла 1 к узлу 2. Подстановка соотношения для приращения заряда Δq приводит к выражению i_ср = (u₁ – u₂)/R, где введено обозначение R =Т/С=1/(f_тС) эквивалентного сопротивления участка цепи между узлами 1 и 2 при коммутации ключей с частотой f_т. Элемент с переключаемым конденсатором (ПК) имитирует резистор R, т. е. описывается таким же соотношением для среднего значения тока.

Замена резисторов их ПК- моделями в RС цепях позволяет построить устройства обработки аналоговых сигналов с использованием подобия уравнений и соответствующих им схем. При этом для обеспечения полной передачи зарядов между конденсаторами и устранения взаимовлияния отдельных блоков используют разделительные операционные усилители.

Одним из наиболее распространенных аналоговых устройств обработки сигналов является интегратор. Инвертирующий интегратор построен на основе ОУ с емкостной отрицательной обратной связью (рис.7.23,а).

Рис.7.23. Аналоговый интегратор (а), его реализация на коммутируемых конденсаторах (б) и управляющие импульсы (в)

С использованием модели идеального ОУ передаточную функцию интегратора можно представить в виде:     Обозначив , несложно по передаточной функции записать соотношения для амплитудной и фазовой частотных характеристик:  ,

Для реализации интегратора на основе коммутируемого конденсатора следует  заменить резистор R₁ его ПК эквивалентом (рис.7.23,б). Ключи К₁  и К₂ поочередно переключаются под воздействием управляющих напряжений Φ₁ и Φ₂ (рис.7.22,в).

В предположении идеальности моделей ОУ и ключей можно получить передаточную функцию ПК реализации интегратора. При замкнутом ключе К₁ и разомкнутом К₂ конденсатор С₁ заряжается от входного напряжения и приобретает заряд q₁(jТ) = С₁ u₁(jТ). В последующем интервале, когда К₁ разомкнут, а К₂ замкнут, заряд q₁ полностью передается конденсатору С₂ вследствие нулевого потенциала инвертирующего входа ОУ и отсутствия входного тока. Результирующий заряд конденсатора равен разности имевшегося и приобретенного зарядов q₂[(j+1)Т] = q₂(jТ) – q₁(jТ).

Записав заряды конденсаторов через соответствующие напряжения и применив преобразование Лапласа с учетом u₂(t+Т) ↔ U₂(p)e^pT можно записать передаточную функцию ПК схемы в виде:    

где z= e^pT – комплексная переменная.

Выражение передаточной функции имеет достаточно сложную форму и в общем случае не описывает процедуру интегрирования. Подстановка z= e ^jωT приводит к выражению комплексного коэффициента передачи

Использование формулы Эйлера приводит соотношение к другому виду

где R_э = (Т/С₁) – эквивалентное сопротивление ПК резистора.

При низких частотах ωT < 1 можно считать и частотная характеристика принимает вид:

Полученная частотная характеристика в выбранном частотном диапазоне приближенно описывает операцию интегрирования входного аналогового напряжения u₁. Постоянную интегратора τ = TC₂/C₁ можно получить с высокой степенью точности и хорошей стабильностью, обеспечив стабилизацию периода управляющих импульсов Т при технологической основе гарантирования точности и стабильности отношения емкостей конденсаторов, изготовленных на общей подложке в едином цикле. К недостаткам рассмотренной схемы следует отнести дополнительную задержку сигнала (фазовый сдвиг θ_доп = ωT/2), обусловленную способом дискретизации, т. е. построением дискретной модели резистора. Влияние на передаточную функцию оказывают нестабильные входные емкости ОУ, включенные параллельно задающему конденсатору C₁.

Разработаны различные модификации ПК элементов, моделирующих резисторы. Их схемы базируются на разных способах численной реализации уравнения, связывающего заряд с приложенным напряжением. Реализации ПК элементов отличаются числом ключей. Способами подключения конденсатора, степенью влияния утечки и другими параметрами. Наиболее распространенной является универсальная мостовая схема (рис.7.24,а).

Рис.7.24. ПК элемент (а), эквивалентная схема (б) и неинвертирующий интегратор (в)